TRIANGULOS

Triangulos

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo  esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Convención de escritura

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• como triángulo  equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
• como triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales^[1] ), y
• como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

POLIGONOS

SE LLAMA POLÍGONOS A LAS LINEAS POLIGONALES CERRADAS.
.UN POLÍGONO DETERMINO EN EL PLANO UNA REGIÓN INTERIOR Y EXTERIOR.
.EL POLÍGONO ES LA FRONTERA ENTRE LA REGIÓN INTERIOR Y EXTERIOR.
.LA UNIÓN DE UN POLÍGONO Y SU REGIÓN INTERIOR RECIPOLIGONO

Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. Un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.

Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:
• Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
• Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de todos sus lados (mitad del perímetro).
• Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central.
• Este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono.
• Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.
En un polígono regular podemos distinguir, además:
• Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales, , donde es el número de lados del polígono.
Clasificación

Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre nº lados
trígono, triángulo
3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero
4
pentágono
5
hexágono
6
heptágono
7
octágono u octógono
8
eneágono o nonágono
9
decágono
10
endecágono
11
dodecágono
12
tridecágono
13
tetradecágono
14
pentadecágono
15
hexadecágono
16
heptadecágono
17
octodecágono
18
eneadecágono
19
isodecágono, icoságono
20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1.000
Miriágono 10.000
decemiriágono 100.000
hecatomiriágono, megágono 1.000.000
Los tipos de polígonos más conocidos son los poligonos regulares, que son planos,simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina
• Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
• Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;
• Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,
• Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
• Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,
• Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
• Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
• Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.
•
polígono simple, cóncavo, irregular.
•
polígono complejo, cóncavo, irregular.
•
polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).
Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.
Polígono Estrellados
Son los polígonos que se construyen a partir de trazar diagonales en Polígonos Regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de las diagonales de dos en dos, de tres en tres, etc.

Poligonal
Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.
BE EL NOMBRE DE SU REGIÓN POLÍGONO.

semejansa de triangulos

semejansas de proporCIONALIDAD

• se llama razon de segmentos a la razon de su longitud referida a la misma unidad de medida
  
  
  Dos triangulos semejantes si tienen dos angulos iguales

circunferencia

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD.
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es una buena medida intuitiva y de eso muy común.
La proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
TEOREMA DE THALES.
Existen dos teoremas en la relación en la geométrica clásica que recibe el nombre de teorema de tales ambos atributos al matemático griego TALES DE MILITO en el siglo VI A.C.
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose estas en el punto medio de su hipotenusa)que a su vez utiliza para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si.
TEOREMA PRIMERO.
Si un por un triangulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados se obtienen dos triángulos semejantes.
Del primer teorema de tales puede enunciarse como que la igualdad de los consientes de los lados de dos triángulos y la razón de su fama.
COROLARIO.
Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triangulo se mantiene constante en el otro.
Este corolario es la base de la geométrica descriptiva su utilidad es evidente; según HERODOTO el propio Tales empleo el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de KEOPS en EGIPTO.
El teorema PER se demuestra en la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Una aplicación de
Este teorema seria la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a número dados (con ayuda del compas, regla y escuadra o cartabón).
SEGUNDO TEOREMA.
El segundo teorema es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inseritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC , distinto de A y de C.
Este teorema es un caso particular de los puntos con cíclicos y de la aplicación de los ángulos de una circunferencia.


Demostración

Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r , los segmentos
OA , OB y OC
Son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco[1] ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema

ANGULOS

profe todabia no terminamos ¡ayudanos!

POLIGONOS