PROPORCIONALIDAD.
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es una buena medida intuitiva y de eso muy común.
La proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
TEOREMA DE THALES.
Existen dos teoremas en la relación en la geométrica clásica que recibe el nombre de teorema de tales ambos atributos al matemático griego TALES DE MILITO en el siglo VI A.C.
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose estas en el punto medio de su hipotenusa)que a su vez utiliza para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si.
TEOREMA PRIMERO.
Si un por un triangulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados se obtienen dos triángulos semejantes.
Del primer teorema de tales puede enunciarse como que la igualdad de los consientes de los lados de dos triángulos y la razón de su fama.
COROLARIO.
Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triangulo se mantiene constante en el otro.
Este corolario es la base de la geométrica descriptiva su utilidad es evidente; según HERODOTO el propio Tales empleo el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de KEOPS en EGIPTO.
El teorema PER se demuestra en la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Una aplicación de
Este teorema seria la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a número dados (con ayuda del compas, regla y escuadra o cartabón).
SEGUNDO TEOREMA.
El segundo teorema es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inseritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC , distinto de A y de C.
Este teorema es un caso particular de los puntos con cíclicos y de la aplicación de los ángulos de una circunferencia.
Demostración
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r , los segmentos
OA , OB y OC
Son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco[1] ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es una buena medida intuitiva y de eso muy común.
La proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
TEOREMA DE THALES.
Existen dos teoremas en la relación en la geométrica clásica que recibe el nombre de teorema de tales ambos atributos al matemático griego TALES DE MILITO en el siglo VI A.C.
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose estas en el punto medio de su hipotenusa)que a su vez utiliza para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si.
TEOREMA PRIMERO.
Si un por un triangulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados se obtienen dos triángulos semejantes.
Del primer teorema de tales puede enunciarse como que la igualdad de los consientes de los lados de dos triángulos y la razón de su fama.
COROLARIO.
Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triangulo se mantiene constante en el otro.
Este corolario es la base de la geométrica descriptiva su utilidad es evidente; según HERODOTO el propio Tales empleo el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de KEOPS en EGIPTO.
El teorema PER se demuestra en la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Una aplicación de
Este teorema seria la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a número dados (con ayuda del compas, regla y escuadra o cartabón).
SEGUNDO TEOREMA.
El segundo teorema es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inseritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC , distinto de A y de C.
Este teorema es un caso particular de los puntos con cíclicos y de la aplicación de los ángulos de una circunferencia.
Demostración
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la circunferencia de centro O y radio r , los segmentos
OA , OB y OC
Son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco[1] ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema
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